ニム和

ニム和（にむわ、英: Nim sum）は、３山くずしゲーム（ニム）、色１種類の線分消去ゲームなどの２人交互型ゲームで必勝法を使う際に必要となる、0以上の整数m,nに対する、特別なルール付きの加算で、ニム和(m,n)と表記する。ビットごとの排他的論理和とも呼ぶ。ニム和(m,n)はm,nを２のべき乗の和で表したときの片方のみに出現する2のべき乗の合計である。例えば、ニム和(6,12)=ニム和(2 4,4 8)=2 8=10である。2のべき乗である2と8は片方のみ、4は両方に出現している。３個以上の整数のニム和の計算は結合則が成り立つので、結合順番を省略でき、ニム和(m,n,k)と書くことができる。ニム和は交換則が成立し、さらにニム和の逆演算であるニム差(m,n)はニム和(m,n)と一致する。 3個以上の整数のニム和は、それぞれの整数を２のべき乗の和で表し、同じ2のべき乗が2個あれば必ず0に置き換えるという規則の加算となる。

ニム和計算を用いる必勝法

自分の番で打てる手のない人を負けとする標準型２人交互型ゲームでは、両者が最善の手を選択すれば、ニム和=0の局面をもらった本人の負け、相手の勝ちであり、ニム和＞0の局面をもらった本人は勝ち、相手の負けである。理由はニム和=0の局面をもらった人はいかなる手を選択してもニム和＞0の局面になり、ニム和＞0の局面をもらった人は適切な手を選択すれば必ずニム和=0の局面にでき、終了局面はニム和=0だからである。

例　３山くずしゲームで、6個,12個,9個の山を持つ局面(6,12,9)では、ニム和(6,12,9)=ニム和(2 4,4 8,1 8)=1 2=3 > 0　なので、どれか１つの山を１以上減らしてニム和を0にすることができる。ニム和(6,12,9)=1 2の最大の２のべき乗である2を持つ山6にニム和(6,12,9)をニム和加算すると、ニム和(6,ニム和(6,12,9))=ニム和(2 4,1 2)=1 4=5　となる。したがって局面(6,12,9)で、6個の山から１個減らして、局面(5,12,9)に移行すると、ニム和(5,12,9)=0となる。

ニム和表の作成方法

方法１　ビットごとの排他的論理和を用いる。整数を２進数表現に変換し、ビットごとの排他的論理和を計算する。

例　ニム和(6,12)の場合、十進数6は0110で、十進数12は1100で、これらのビットごとの排他的論理和は1010で、十進数10となる。

方法２　未使用最小整数を用いる。0以上の整数m,nに対し以下の関数Gを計算し、ニム和(m,n)=G(m,n)とする。すなわちゲームの局面の値は、次のゲームの局面の値として未使用の０以上の最小の整数であるというグランディ値の定義を利用する。

G(0,0)=0。
正のmについて、G(m,0)はG(m -1,0),...,G(0,0)に値として使われていない最小の0以上の整数。
正のnについて、G(0,n)はG(0,n -1),...,G(0,0)に値として使われていない最小の0以上の整数。
正のm,nについて、G(m,n)はG(m,n -1),...,G(m,0),G(m -1,n),...,G(0,n)に値として使われていない最小の0以上の整数。